La distance effective D d'une source avec un décalage vers le rouge (redshift) Z s'exprime par la Formule de Mattig (1958), comme:
D = [2*c/H(0)] * {[Omega*Z + (Omega-2)*[(1+Omega*Z)^(1/2) - 1]]/[(Omega^2)*(1+Z)]}
où "*" (fois) est le signe utilisé pour la multiplication et où "^" est utilisé ici pour indiquer une puissance, de sorte que (1+Omega*Z)^(1/2) est en fait la racine carrée de (1+Omega*Z).
"H(0)" est la constante de Hubble, "c" est la vitesse de la lumière dans le vide et "Omega" est le paramètre de densité de la matière.
Avec les valeurs que vous proposez, c'est-à-dire:
H(0) = 65 km/s/Mpc
c = 300 000 km/s
Z = 3 et Omega = 1,
j'obtiens que D vaut: D = 9231 * {(3-1)/4} Mpc = 4615 Mpc.
En tenant compte du fait que 1 parsec = 3.26 années lumière environ, 1 Mpc vaudra 3.26 millions d'années lumière et D vaudra alors environ 15 milliards d'années lumière.
Cette distance D est la distance D(0) qui séparent MAINTENANT la source (à Z=3) de notre Galaxie.
Au moment de l'émission du rayonnement de la source, la distance D(Z) était plus petite d'un facteur égal au facteur d'échelle R(Z)=1/(1+Z), c'est-à-dire:
D(Z) = R(Z)*D(0) = D(0)/(1+Z) = (4615/4) Mpc = 1154 Mpc,
soit 3.76 milliards d'années lumière.
Le facteur d'échelle R peut aussi être exprimé en fonction du temps t depuis le Big Bang selon:
R(t) = (t/t(0))^(2/3) = ((3/2)*H(0)*t)^(2/3),
où t(0) = (2/3)/H(0) = 10.3 milliards d'années est l'âge de l'Univers et où les facteurs 2/3 viennent du fait que nous avons choisi Omega = 1 et non pas Omega = 0, auquel cas on aurait eu R(t) = t/t(0) et t(0) = 1/H(0) = 15.4 milliards d'années, soit le temps de Hubble.
En remplaçant R(t) par 1/(1+Z), on obtient une expression pour le temps t(Z) après le Big Bang lorsque le rayonnement a été émis.
t(Z) = [2/(3*H(0))] * [1/(Z+1)^3/2] = 1/(12*H(0) = 1.28 milliards d'années.
Le temps de voyage T de la lumière pour nous parvenir est par conséquent:
T = t(0) - t(Z) = (10.3 - 1.3) milliards d'années = 9 milliards d'années. Pour plus d'informations concernant la cosmologie, je vous conseille de jeter un coup d'oeil au site Internet de Ned Wright (en anglais) à l'adresse: http://www.astro.ucla.edu/~wright/cosmolog.htm
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Cette réponse a été préparée par Marc.Turler@obs.unige.ch