La question est, au fond, celle de l'azimut du soleil à son lever. Si l'on connaît les coordonnées équatoriales du soleil, alpha et delta (d'après les éphémérides), alors il est possible de calculer l'azimut par la formule:
cos(a) = - sin(delta)/cos(phi)
où a est l'azimut, compté positivement de la direction sud (méridien) vers l'ouest, delta est la déclinaison du soleil (comprise entre -23 et +23 degrés environ, selon le jour de l'année) et phi est la latitude du lieu. Cette équation admet deux solutions, l'une donnant l'azimut du coucher et l'autre (360 degrés - a(coucher)) l'azimut du lever. Notons que cette équation n'a pas de solution dès que delta > 90-phi : c'est le cas des étoiles circumpolaires ou du soleil de minuit.
La situation supposée par l'équation ci-dessus est idéale: le lever ou le coucher du soleil est défini comme l'instant où le centre du disque solaire passe par l'horizon mathématique du lieu et en l'absence d'effets atmosphériques. En réalité, la réfraction atmosphérique n'est pas du tout négligeable, puisqu'elle rend le soleil visible alors même que son disque entier est déjà (ou encore) sous l'horizon, en termes géométriques. L'angle de réfraction est de l'ordre de 34 minutes d'arc à l'horizon. Si de plus on définit le lever du soleil comme l'instant ou l'on aperçoit le bord du disque solaire poindre a l'horizon, alors cela correspond a un angle théorique d'environ 49 (=34+15) minutes d'arc sous l'horizon pour le centre du disque. Une expression plus exacte de l'azimut s'écrit alors:
cos(a) = (sin(phi)cos(z)-sin(delta))/(cos(phi)sin(z))
où z est la distance zénithale du centre du soleil, c'est-à-dire ici 90 degrés 49 minutes.
Le deuxième volet de votre question devrait être précise : s'il s'agit d'un degré en projection sur l'équateur céleste, et pour un soleil "moyen" (soleil fictif parfaitement régulier qui commande nos montres), alors un degré est parcouru en 1/360e de jour solaire, donc en 4 minutes exactement, quelle que soit la saison. Si vous parlez du soleil vrai, et de l'angle sous-tendu par le segment apparent qu'il parcours, alors c'est un peu diffèrent : le fait qu'il ne se déplace pas sur l'équateur céleste, mais sur un petit cercle de la sphère céleste à une déclinaison d'environ 23 degrés, implique qu'il faut diviser le temps ci-dessus par cos(23)=0.92. De plus la terre ne se déplaçant pas sur une orbite circulaire et se trouvant au voisinage de l'aphélie, il faudrait tenir compte du fait que le jour solaire en cette saison est très légèrement plus court que la moyenne (cela est lié a "l'équation du temps").
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Cette réponse a été préparée par Pierre.North@obs.unige.ch