où 
est souvent noté 
.
Raoul Behrend
Observatoire de Genève
CH-1290 Sauverny
Suisse
2000-12-21
Introduction
Bien que fort bien connu, le rayon de la terre exprimé en unité
astronomique peut faire l'objet d'un amusant problème d'observation
et de réduction.
La mécanique céleste définit l'unité astronomique
comme base des distances pour le calcul des mouvements dans le système
solaire. La terre a été arpentée pour en mesurer la
forme et les dimensions. Comment relier ces deux échelles ?
Le jeu est simple: en disposant d'éphémérides approximatives,
il faut retrouver le rayon de la terre exprimé en unité astronomique
(ou l'inverse). Le facteur entre ces deux échelles est défini
comme
où
est souvent noté .
Pour cela, au minimum deux observateurs sont nécessaires, ainsi
que des observations simultanées. Les objets du système solaire,
de distances connues, étant vus sous des directions différentes,
il est possible de faire de la stéréoscopie pour déterminer
la base entre les observateurs.
Méthode de dépouillement
Le passage des coordonnées géocentriques aux coordonnées
topocentriques des observateurs se fait à l'aide de 
où 
selon les formules développées en appendice. 
sont les coordonnées tirées des éphémérides
pour l'instant observé. 
est l'angle horaire pour l'observateur de longitude 
et de coordonnées radiale 
et verticale 
(afin de limiter les doutes possibles, la latitude géocentrique
est notée en 
au lieu de 
). 
est la distance de l'objet du centre de la terre, en unité astronomique,
et 
est la parallaxe correspondante à une unité astronomique
(
). Si
l'observateur n'a pas tout-à-fait pris le cliché au temps
convenu, le mouvement propre de l'astéroïde devra être
pris en compte: 
.
La positon prédite de l'astéroïde sera donc donnée
par 
.
En fait, pour ce problème, on doit voir les dépendances fonctionnelles 
.
Si l'observateur est seul, il doit disposer d'éphémérides
très précises, vu qu'il devra retrouver 
via une analyse de ses observations avec 
.
Si l'on dispose d'observations presque simultanées de lieux distincts,
on peut se passer de la très haute précision pour les éphémérides
(et donc utiliser un logiciel ordinaire et/ou une orbite pas trop soignée)
en considérant comme des observations les écarts entre les
positions topocentriques:
.
Les indices supérieurs (
)désignent
les lieux des observations de chaque couple. Si les poses sont nominalement
distinctes dans le temps, on ramène d'abord les observations individuelles
au temps moyen en appliquant sur ces différences de temps les mouvements
horaires en ascension droite et en déclinaison. Vu la petitesse
prévisible des décalages temporels, on peut négliger
le fait que la parallaxe change les mouvements horaires perçus par
les observateurs. Comme il y a beaucoup plus d'observations que d'inconnues,
une méthode de type "moindres carrés" s'impose pour rechercher
les 
individuels ainsi que 
.
Les corrections de parallaxes n'étant pas linéaires en fonction
de 
,
la version différentielle est à employer. Posons 
où 
est une estimation préliminaire de 
,
et 
l'écart à la bonne valeur. La linéarisation donne
.
La forme matricielle des moindres carrés facilitera le travail...
Mais avant, il faut encore remarquer qu'il manque une équation qui
détermine les 
individuels: on prendra par exemple 
.
On voit bien pourquoi dans la matrice 
,
ci-dessous, car alors deux colonnes seraient proportionnelles et le système
n'aurait pas de solution unique.
Allons-y dans le cas de deux observateurs:
, 
, 
.
La solution par les moindres carrés est 
où 
est la matrice des covariances sur 
.
A priori, en choisissant de travailler en secondes d'arc pour les coordonnées
et en s pour les temps, les incertitudes sont de l'ordre de 1, ce qui simplifie
les calculs; des facteurs d'échelle qui tiennent compte des dispersions
résiduelles seront introduits à la fin pour avoir des incertitudes
plus réalistes. Pour se simplifier encore la vie, multiplions chaque
élément de 
et chaque ligne de 
concernant les ascensions droites par le 
correspondant, pour avoir des écarts en secondes d'arc effectives
(plutôt qu'équatoriales). La matrice 
est alors diagonale unitaire (avant introduction des facteurs d'échelles
spatiale et temporelle). Dans 
, 
est une correction (itérative) à apporter à 
,
tandis que les 
sont les erreurs systématiques individuelles de synchronisation.
On a toutes les équations en main. Il suffit de programmer cela
en dur, dans un tableur ou un logiciel de calcul numérique. Rajouter
d'autres observateurs est un jeu d'enfant avec cette notation.
Les mesures
Via la liste Audelle, des observations simultanées de l'astéroïde
2000 QW7 ont été planifiées entre Stefano
Sposetti, Philippe Dupouy et moi-même d'une part, et Thierry Payet
et René Roy d'autre part. Se sont encore joints Tom Alderweirel
et Cédric Leyrat. La météo ne m'ayant pas été
favorable, c'est moi qui suit «collé» à la réduction
(avec tout de même beaucoup de plaisir <;3)~~~~).
Les observations publiées par le Minor Planet Center et recueillies
dans le fichier
newton.dm.unipi.it/neodys/mpcobs/2000QW7.rwo
ont été sélectionnées, ainsi que celles qui
me sont parvenues par courriel. Seuls les coopérations qui ont donné
au moins deux observations simultanées (à mieux que cinq
secondes) ont été retenus dans un premier temps (voir le
complément pour les résultats incorporant tous les doublets).
Il s'agit des sites 182+958 (18 observations), ainsi que 143+627 (27 observations).
Les coordonnées géocentriques des observatoires figurent
dans la table:
.
Mon programme personnel de détermination des orbites a rapidement
été modifié pour permettre de calculer 
pour chaque couple d'observation, à partir d'une estimation de 
.
Les éléments orbitaux sont recalculés par ce même
programme avec toutes les observations à disposition. Ensuite de
quoi, un script permet d'assembler les matrices et vecteurs, et de lancer
les calculs de réduction. Une fois calculées les constantes
dans le vecteur 
et sa matrice de covariance (=celle des incertitudes), le vecteur 
,
après y avoir retranché les termes de synchronisation, contient
les erreurs sur les estimations des écarts en ascension droite et
en déclinaison. L'estimation a posteriori des incertitudes correspond
à multiplier les incertitudes initialement prévues par 
pour la partie spatiale (
est le nombre total des équations en ascension droite et en déclinaison).
La partie temporelle est laissée telle qu'elle, car elle a un intercouplage
trop faible pour avoir une dispersion plus réaliste. Une nouvelle
itération est alors nécessaire.
Résultats
Une fois tous les calculs effectués, on trouve que 
.
La dispersion résiduelle est de
.
Les quatre équations de résidus supérieurs à
deux fois la dispersion ont été enlevées lors de l'analyse.
Les observations du tandem 182+958 sont d'un peu moins bonne qualité
que celles de 143+627, mais comme la base est bien plus grande, cela apporte
tout de même une contribution décisive à la mesure
de 
.
Les résidus finaux en secondes d'arc effectives en ascension
droite et en déclinaison ont l'allure suivante:
Conclusions
La méthode astucieuse proposée pour calculer le facteur
d'échelle du système solaire a l'avantage de se baser sur
les différences de positions mesurées par des observateurs
distincts, et non sur la connaissance d'une orbite parfaite. En particulier,
elle est donc indépendante du choix du catalogue astrométrique
qui contient inévitablement des erreurs systématiques par
rapport à l'orbite "parfaite", pour autant que les deux observateurs
utilisent le même catalogue et les mêmes étoiles. Ce
dernier point peut être relâché dans la pratique par
le fait que les clichés contiennent beaucoup plus d'étoiles
que de paramètres libres dans le processus de réduction.
L'erreur entre la parallaxe à une unité astronomique déterminée 
et la parallaxe réelle
est de 
.
Cela revient à pouvoir estimer le diamètre de la terre exprimé
en unités astronomiques avec cette même erreur. Et inversement.
Pour comparaison, cela ferrait 
sur le rayon terrestre.
Visiblement, les observateurs se sont donnés beaucoup de peine
pour synchroniser les déclencheurs sur leur horloge locale; le décalage
entre les jeux de pendules sont estimé à une poignée
de seconde de temps pour un tandem, et moins d'une seconde pour le second.
Bravo aux quatre équipes qui ont réussi à se synchroniser,
et merci aussi aux autres observateurs qui ont bien voulu participer à
cette belle aventure. Merci aussi à Alain Maury, fondateur de la
liste Audelle sans laquelle ce genre de coopération serait difficile...
Complément
Avec toutes les observations par paires mêmes isolées (tandems
46+557, 143+627, 182+958, 642+670, 846+920, 958+967), on trouve 
.
Quatre mesures ont été éliminées de la réduction,
car très probablement erronées. Les résidus en secondes
d'arc effectives, selon l'ascension droite et la déclinaison sont
graphiquement comme suit:
Formules de correction de parallaxe
Les formules rigoureuses ne sont pas très difficiles à
obtenir depuis les coordonnées cartésiennes. Coordonnées
de l'objet par rapport au centre de la terre: 
.
Pour l'observateur, c'est similaire: 
,
avec 
le temps sidéral local. On a donc à résoudre 
.
Profitons de faire une rotation autour de l'axe 
: 
devient
.
En mettant la définition 
,
le tour est joué. 
est le rayon équatorial "moyen" de la terre, et 
représente l'unité astronomique.
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