J'ai lu récemment, dans une introduction sur la gravitation, qu'on a demontré mathématiquement que les équations de Newton pour 3 corps ou plus (en interaction gravitationnelle), ne possèdaient pas de solutions analytiques.Pouvez-vous m'indiquer qui l'a démontré ainsi que l'outil mathématique nécessaire à la résolution de ces problèmes à N corps (si possible avec un exemple de calcul).

Les systèmes mécaniques sont décrits mathématiquement par ce que l'on appelle des «équations différentielles». Ces équations décrivent l'évolution de grandeurs physiques comme la position d'une particule, sa vitesse ou son accélération au cours du temps. Dans un système à N particules, il y a 3xN équations différentielles (une pour chaque particule et chaque direction). Or ces équations sont fortement couplées: n'importe laquelle de ces équations contient les positions de toutes les autres particules. Si on veut résoudre un tel système, il faut _séparer_ les équations, c'est à dire les transformer de manière à ôter ces interdépendances. En général, cette séparation est impossible. Il y a juste quelques rares exceptions pour des systèmes très simples. Le problème n'est donc pas de savoir pourquoi le problème à trois corps ne peut être résolu, mais bien pourquoi celui à deux corps (par exemple) peut l'être.

Les cas où la séparation est possible sont dits «intégrables», car on peut trouver la trajectoire par intégration directe de chaque variable. Il y a en fait un critère qui permet de savoir si le système est intégrable ou pas: Si on a N équations différentielles, alors le système sera intégrable si on peut trouver au moins N «constantes du mouvement», c'est à dire des grandeurs physiques qui restent inchangées au cours du temps. Pour le problème de Képler (la Terre autour du Soleil, en négligeant le mouvement du Soleil) à deux dimensions, on a 2 équations, et 2 constantes du mouvement: l'énergie totale de la particule et son moment cinétique. Ainsi on peut résoudre le problème. Dans le problème à 3 corps, il est impossible de trouver les neufs constantes du mouvement nécessaires, et le problème n'est pas intégrable.

Il faut noter que les problèmes non-intégrables diffèrent fondamentalement des problèmes intégrables. En effet, ils peuvent être chaotiques, ce qui est impossible pour les problèmes intégrables. Cela veut dire (en très gros) que si on laisse évoluer deux systèmes pratiquement identiques au départ, alors ils deviendront extrêmement différents au cours du temps, alors que deux systèmes non-chaotiques très proches resteront toujours très semblables au cours du temps.

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Cette réponse a été préparée par Stephane.Paltani@obs.unige.ch